Question

3．设关于x的方程x²-mx-1=0和|x-1|-m-2=0的实根分别为x₁，x₂和x₃，x₄，若x₁＜x₃＜x₂＜x₄，则实数m的取值范围为（-$\frac{3}{2}$，0）．

Answer 1

分析 利用参数分离法分别将方程转化为m=x-$\frac{1}{x}$和m=|x-1|-2，构造函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$和g（x）=|x-1|-2，作出对应的图象，利用f（x），g（x）与y=m的交点横坐标的大小关系进行求解即可．

解答 解：当x=0时，方程x²-mx-1=0不成立，
∴方程x²-mx-1=0等价为mx=x²-1，
即m=x-$\frac{1}{x}$，
设f（x）=x-$\frac{1}{x}$，则函数f（x）为奇函数，且在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数，且f（1）=f（-1）=0，
由|x-1|-m-2=0得m=|x-1|-2，
设g（x）=|x-1|-2，分别作出函数f（x）与g（x）的图象如图，
当0＜x＜1时，g（x）=|x-1|-2=1-x-2=-x-1，
由-x-1=x-$\frac{1}{x}$得2x-$\frac{1}{x}$+1=0，即2x²+x-1=0，得x=-1（舍）或x=$\frac{1}{2}$，
此时g（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{1}{2}$-1|-2=-$\frac{3}{2}$，即A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
要使x₁＜x₃＜x₂＜x₄，
则-$\frac{3}{2}$＜m＜0，
即实数m的取值范围是（-$\frac{3}{2}$，0），
故答案为：（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合构造函数法，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．