Question

19．关于函数$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}）（x∈R）$有下列命题，其中正确的是（　　）
①y=f（x）的表达式可改写为$y=4cos（2x-\frac{π}{6}）$；
②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③y=f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{6}，0）$对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称．

• A． ①②
• B． ③④
• C． ③
• D． ①④

Answer 1

分析 利用诱导公式化简①，判断正误；
求出函数周期判断②；
求出函数的对称中心判定③；
对称直线方程判断④的正误．

解答 解：对于①，f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）
=4cos（$\frac{π}{2}$-2x-$\frac{π}{3}$）
=4cos（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{2}$）
=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），命题正确；
对于②，f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，命题不正确；
对于③，f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的对称点满足（x，0），
即2x+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；（-$\frac{π}{6}$，0）满足条件，命题正确；
对于④，f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）的对称直线满足
2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
x=$\frac{5π}{6}$时不满足条件，命题错误；
综上，正确的命题是①③．
故选：C．

点评 本题考查正弦函数的性质，考查基本概念，基本知识的理解掌握程度，是综合性题目．