Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （I）由勾股定理得出CD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出CD⊥PA，故CD⊥平面PAC；
（II）以A为原点建立坐标系，分别求出平面MAB和平面ABC的法向量，求出法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 解：（Ⅰ）连结AC，
∵在△ABC中，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，∴AB⊥AC，
∵AB∥CD，∴AC⊥CD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），
∵M是棱PD的中点，∴M（-1，1，1），∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0）．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面MAB的法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{-2}{2×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵二面角M-AB-C 为锐二面角，
∴二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．