Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x-1）=f（1-x），且x≥0时，f（x）=2^|x-m|-2，f（-1）=-1，则f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-2，2）
• C． （0，2）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 先判断函数是偶函数，求出m的值，然后解不等式进行求解．

解答 解：∵f（x-1）=f（1-x），
∴f（x）为偶函数，从而f（-1）=f（1）=1，
∴2^|x-m|-2=-1，
∴m=1，
∴x≥0时，f（x）=2^|x-1|-2，
∴当2^|x-1|-2＜0时，解得0＜x＜2，
当x＜0时，解得-2＜x＜0，
综上所述，则f（x）＜0的解集为（-2，0）∪（0，2），
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的定义和性质求出m是解决本题的关键．