题目内容

设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N₊，存在k∈N₊，使得 $数学公式$ =a_n•a_n+2k成立，则称数列为“J_k型”数列．
（1）若数列{a_n}是“J₂”型数列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若数列{a_n}既是“J₃”型数列，又是“J₄”型数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

解：（1）∵数列{a_n}是“J₂”型数列，
∴ $\text{[math]}$ =a_n•a_n+4
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a₂=8，a₈=1，∴ $\text{[math]}$ ，∴q= $\text{[math]}$
∴a_2n=8× $\text{[math]}$ =2^4-n；
（2）由题设知，当n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比数列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比数列．
从而当n≥8时，a_n²=a_n-3a_n+3=a_n-6a_n+6，（*）且a_n-6a_n+6=a_n-2a_n+2．
所以当n≥8时，a_n²=a_n-2a_n+2，即 $\text{[math]}$
于是当n≥9时，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等比数列，从而a_n-3a_n+3=a_n-1a_n+1，故由（*）式知a_n²=a_n-1a_n+1，
即 $\text{[math]}$ ．
当n≥9时，设 $\text{[math]}$ ，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知a_m+6²=a_ma_m+12，
故a_m+7²=a_m+1a_m+13，从而 $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ．
因此 $\text{[math]}$ 对任意n≥2都成立．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ．
故数列{a_n}为等比数列．
分析：（1）利用数列{a_n}是“J₂”型数列，可得数列{a_n}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a₂=8，a₈=1，求出数列的公比，即可得到通项；
（2）由题设知，当n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比数列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比数列，可得 $\text{[math]}$ ，进而可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 对任意n≥2都成立，由此可得数列{a_n}为等比数列．
点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．