Question

4．设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且函数y=f（x）在点P（1，$-\frac{2}{3}$）处的切线与x轴平行．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）图象关于原点对称，知对任意实数x有f（-x）=-f（x），利用函数y=f（x）在点P（1，$-\frac{2}{3}$）处的切线与x轴平行，求a、b、c、d的值．
（2）用反证法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），再利用导数的几何意义，求出不等关系，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答 解：（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1时，f'（1）=3a+c=0，f（1）=a+c=-$\frac{2}{3}$，
解得a=$\frac{1}{3}$，c=-1，
当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．
（2）假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=x²-1知两点处的切线斜率分别为
k₁=x₁²-1，k₂=x₂²-1，且（x₁²-1）（x₂²-1）=-1             （*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，
∴x₁²-1≤0，x₂²-1≤0
∴（x₁²-1）（x₂²-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义、函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值，考查反证法的使用，考查两数之间最值之差最大，为中档题．