Question

1．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）满足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，则f（x）的最小值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据条件，利用方程组法进行求解，先求出函数f（x）的解析式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：∵2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{3}{{x}^{2}}$，①
∴2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=3x²，②
①×2+②得3f（x）=$\frac{6}{{x}^{2}}$+3x²，
即f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²，
∵x＞0，
∴f（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+x²≥2$\sqrt{\frac{2}{{x}^{2}}•{x}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{2}{{x}^{2}}$=x²，即x²=2，x=$\sqrt{2}$时，取得号，
则函数f（x）的最小值是2$\sqrt{2}$，
 故答案为：2$\sqrt{2}$，

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的求解，利用方程组法先求出函数的解析式，然后利用基本不等式是解决本题的关键．