Question

1．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2．
（I）求异面直线AC与B₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）设M是线段B₁D上一点，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，若该点取自于三棱锥M-ACD内的概率为$\frac{1}{18}$，试确定点M的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与B₁D所成角的余弦值．
（Ⅱ）设M到平面ABCD的距离d，则$\frac{{V}_{M-ADC}}{{V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•d}{{S}_{四边形ABCD}•A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{6}d}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{18}$，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，2，0），B₁（1，2，1），
D（0，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，-2，-1），
设异面直线AC与B₁D所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{B}_{1}D}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线AC与B₁D所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（Ⅱ）${V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$=S_{四边形ABCD}•AA₁，
${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
设M到平面ABCD的距离d，
∵M是线段B₁D上一点，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机选取一点，
该点取自于三棱锥M-ACD内的概率为$\frac{1}{18}$，
∴$\frac{{V}_{M-ADC}}{{V}_{ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ADC}•d}{{S}_{四边形ABCD}•A{A}_{1}}$=$\frac{\frac{1}{6}d}{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{18}$，
解得d=$\frac{A{A}_{1}}{3}$=$\frac{1}{3}$．
设M（a，b，c），$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{D{B}_{1}}$，则（a，b，c）=（λ，2λ，λ），
∴a=λ，b=2λ，c=λ，
∵d=$\frac{1}{3}$，∴c=λ=$\frac{1}{3}$，∴M（$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．