Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n
（Ⅱ）数列{b_n}的通项公式b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求解．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
且S_n=n（n+1）（n∈N^*），
∴a₁=S₁=1×（1+1）=2，
a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n
=（n²+n）-（n²-n）
=2n．
（Ⅱ）∵a_n=2n，∴b_n=

1

an•an+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4n+4

．

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．