Question

13．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-1）²+y²=1．以 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：$θ=\frac{π}{4}$与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）根据圆的标准方程，以及以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，确定出圆C的极坐标方程即可；
（2）法1：把射线OM极坐标方程化为普通方程，与圆方程联立，消去y求出x的值，进而求出y的值，确定出P的坐标，化为极坐标即可；法2：把θ=$\frac{π}{4}$代入圆的极坐标方程求出ρ的值，即可确定出P的极坐标．

解答 解：（1）圆C的普通方程是（x-1）²+y²=1，
∵以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，即（ρcosθ-1）²+（ρsinθ）²=1，
整理得：ρ²（sin2θ+cos2θ）-2ρcosθ+1=1，即ρ²-2ρcosθ=0，
∵ρ≠0，∴ρ-2cosθ=0，即即ρ=2cosθ，
则圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ；
（2）法1：射线OM：θ=$\frac{π}{4}$的普通方程为y=x，x≥0，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=x，x≥0\\{（{x-1}）^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，
消去y并整理得x²-x=0，即x（x-1）=0，
解得：x=1或x=0，
∴P点的直角坐标为（1，1），
则P点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）；
法2：把θ=$\frac{π}{4}$代入ρ=2cosθ得：ρ=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
则P点的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

点评 此题考查了简单曲线的极坐标方程，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间的转化是解本题的关键．