Question

设a为实数，函数f（x）=x²+x|x-a|，若f（x）在R上具有单调性，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：由绝对值的含义，可得f（x）=x²+x|x-a|=

2x2-ax，x≥a ax，x＜a

，再结合二次函数和一次函数的单调性，对a讨论，即可得到a的范围．

解答： 解：函数f（x）=x²+x|x-a|
=

2x2-ax，x≥a ax，x＜a

，
由于f（x）在R上具有单调性，
则若f（x）递增，
当x≥a时，对称轴为x=

a

4

，在x≥

a

4

时递增，
则有a≥

a

4

，即有a≥0；
当x＜a时，f（x）=ax，则有a＞0．
则有a＞0成立；
若f（x）在R上递减，则由于二次函数在x≥

a

4

时递增，
则不存在a．
故a的取值范围是（0，+∞）．

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查含绝对值的函数的单调性的求法，注意讨论的方法，属于中档题和易错题．