Question

从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

Answer 1

解：法一：有i题意知本题是一个分类计数问题，
问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A₄⁴种；
（2）甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C₄³（A₄⁴-A₃³）种；
（3）甲、乙两人均参加，有C₄²（A₄⁴-2A₃³+A₂²）种．
故共有252种．
法二：六人中取四人参加的种数为A₆⁴，
除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C₂¹A₅³种，
因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A₄²减去了两次．
故共有A₆⁴-C₂¹A₅³+A₄²=252种．
分析：本题可以用两种不同的方法来解，第一种方法问题分成甲、乙两人均不参加，甲、乙两人有且仅有一人参加，甲、乙两人均参加，列出结果数，根据分类计数原理得到结果．
第二种解法是先做出所有的情况六人中取四人参加的种数，减去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的种数，这样就重复剪掉了两个人同时不合题意的结果数，再加上．
点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，对于带有限制条件的排列、组合计数原理综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理．比如五个人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾的方法数．