Question

如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点．

(1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）

【解析】(1)证明　以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，

设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，

则D(0，m,0)，E(，，0)．

可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．

因为·＝－＋0＝0，

所以PE⊥BC．

(2)解　由已知条件可得m＝－，n＝1，

故C(－，0,0)，D(0，－，0)，

E(，－，0)，P(0,0,1)，

设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，

则，

因此可以取n＝(1，，0)，

由＝(1,0，－1)．

可得|cos〈，n〉|＝，

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．