Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点，PA=PD．
（I）求证：平面PBE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若平面PBC⊥平面ABCD，PB=AB，求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用菱形、等边三角形与等腰三角形的性质可得：BE⊥AD，PE⊥AD．再利用线面垂直的性质定理即可得出．
（2）利用面面垂直的性质定理可得：PB⊥平面ABCD，又EB⊥BC．可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=2，设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，取平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：连接DB，∵AD=AB，∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．
∵E是AD的中点，∴BE⊥AD．
又PA=PD，∴PE⊥AD．
又PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE．
又AD?平面ABCD，
∴平面PBE⊥平面ABCD．
（2）解：平面PBE⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBE∩平面PBC=PB，
则PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BE，PB⊥BC，又EB⊥BC．
可以建立空间直角坐标系．
不妨设BC=2，则B（0，0，0），C（-2，0，0），P（0，0，2），D（-1，-$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{CP}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CD}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+2z=0}\\{x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$．
取平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}×1}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、菱形与等腰及其等边三角形的性质、向量的夹角公式、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．