题目内容
8．已知点A（-1，0），B（1，0），如果点C在函数y=-3x2+2的图象上，那么使得△ABC为直角三角形的点C的个数为（ ）| A． | 8 | B． | 6 | C． | 4 | D． | 2 |
分析 设点C（a，-3a2+2），分类讨论，分别利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的公式，求得a的值的个数，可得点C的个数，从而得出结论．
解答 解：∵点A（-1，0），B（1，0），如果点C在函数y=-3x2+2的图象上，则设点C（a，-3a2+2），
∵△ABC为直角三角形，
①若A为直角顶点，则有AC⊥AB，此时，a=-1，点C的坐标为（-1，-1）；
②若B为直角顶点，则有BC⊥AB，此时，a=1，点C的坐标为（1，-1）；
③若C为直角顶点，则有AC⊥BC，此时，$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=（-1-a，3a2-2）•（1-a，3a2-2）
=（-1-a）•（1-a）+（3a2-1）2=a2-1+9a4-12a2+4=9a4-11a2+3=0，
求得a2=$\frac{11+\sqrt{13}}{18}$，或a2=$\frac{11-\sqrt{13}}{8}$，故此时，a的不同的值共有4个，
此时，点C共有4个．
综上可得，满足条件的点C共有6个，
故选：B．
点评 本题主要考查解三角形，两个向量垂直的性质，两个向量数量积的公式，属于中档题．
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