Question

10．定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），?x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=1，则方程f（x）-f′（x）=1的解所在区间是（1，2）．

Answer 1

分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=1，求出f（x）=lnx+1，则方程f（x）-f′（x）=1的解可转化成方程lnx-$\frac{1}{x}$=0的解，根据零点存在定理即可判断．

解答 解：令f（x）-lnx=t，
由函数f（x）单调可知t为正常数，
则f（x）=t+lnx，且f（t）=1，即t+lnt=1，
设$g（t）=t+lnt，{g^'}（t）=1+\frac{1}{t}＞0$，
所以g（t）在（0，+∞）上是增函数，
又g（1）=1，所t=1，
∴f（x）=1+lnx，而${f^'}（x）=\frac{1}{x}$，
所以方程可化为$lnx-\frac{1}{x}=0$，
记$h（x）=lnx-\frac{1}{x}（{x＞0}）$，
而${h^'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}＞0$，
所以h（x）在（0，+∞）上是增函数，
又h（1）＜0，h（2）＞0，
所以方程的解在区间（1，2）内，
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．