Question

20．在平面上∠AOB=60°，|${\overrightarrow{OA}}$|=|${\overrightarrow{OB}}$|=1．动点C满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ²+λμ+μ²=1，则点C的轨迹是（　　）

• A． 线段
• B． 圆
• C． 椭圆
• D． 双曲线

Answer 1

分析 设O（0，0），B（1，0），A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（x，y），则由$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$可得x=$\frac{1}{2}λ$+μ，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$，根据λ²+λμ+μ²=1，可得点C的轨迹．

解答 解：设O（0，0），B（1，0），A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（x，y），则
∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$即（x，y）=λ（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）+μ（1，0）
∴x=$\frac{1}{2}λ$+μ，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$，
∴x²+y²=λ²+λμ+μ²=1，
点C的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．
故选：B．

点评 利用$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$确定点C的坐标与λ、μ之间的关系，根据λ²+λμ+μ²=1，确定点C的轨迹．