Question

已知

(1)若的最小值记为，求的解析式．

(2)是否存在实数，同时满足以下条件：①；②当的定义域为[，]时，值域为[，]；若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

(1) ；(2) 满足条件的实数m，n不存在．

【解析】

试题分析：(1)利用换元法令 ，可知 ，原函数化为 ，利用一元二次函数求最值，可得最小值的解析式；(2)由 ①知m＞n＞3，故，由函数的单调性知

12?6m＝n2，12?6n＝m2 得m+n=6与m＞n＞3矛盾，故不存在．

【解析】
（1）令，∵∴， 1分

，对称轴． 2分

①

②，

③， 5分

∴ 7分

（2）因为在（3，+∞）上为减函数，而m＞n＞3，

∴在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]， （8分）

∵在[n，m]上的值域为[，]，

∴h(m)＝n2 ， h(n)＝m2

即：12?6m＝n2 ，12?6n＝m2 （9分）

两式相减得：6（m-n）=（m-n）（m+n）

又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3时，有m+n＞6，矛盾． （12分）

故满足条件的实数m，n不存在． （13分）

考点：换元法，一元二次函数的最值，函数的单调性．