Question

已知数列的首项．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，若，求最大正整数的值；

（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）证明过程见解析;（2）最大正整数的值为100;（3）满足题意的正整数不存在.

【解析】

试题分析：（1）由已知条件构造出，据等比数列的定义知数列为等比数列；（2）由等比数列的通项公式求出的通项公式.易得出，再解出即可;（3）假设存在，可得，由通项公式代入化简可得，因为，当且仅当时等号成立，又互不相等，则不存在.

试题解析：【解析】
（1）因为，所以

又因为，所以，所以数列为等比数列. 4分

（2）由（1）可得，所以，

，

若，则，所求最大正整数的值为100. 9分

（3）假设存在满足题意的正整数，

则，，

因为，所以，

化简得，，因为，

当且仅当时等号成立，又互不相等，

所以满足题意的正整数不存在. 14分

考点：等比数列的定义，等比数列的前n项和，基本不等式，转化与化归的数学思想.