Question

16．已知全集U=R，函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$的定义域为集合A，函数y=$\frac{（x-1）^{0}}{\sqrt{3-x}}$的定义域为集合B．
（1）求集合A和集合B；
（2）求A∪B，A∩（∁_UB）．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$的定义域得集合A，求出函数y=$\frac{（x-1）^{0}}{\sqrt{3-x}}$的定义域为得B；
（2）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁_UB）∩A；

解答 解：（1）由已知得，函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+2x+8}$的定义域满足：-x²+2x+8≥0，∴（x-4）（x+2）≤0
解得：-2≤x≤4，
∴集合A={x|-2≤x≤4}
函数y=$\frac{（x-1）^{0}}{\sqrt{3-x}}$的定义域满足：$\left\{\begin{array}{l}{x-1≠0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，解得：x＜3且x≠1
∴集合B={x|x＜3且x≠1}
（2 ）由（1）可知集合A={x|-2≤x≤4}，集合B={x|x＜3且x≠1}
那么：A∪B={x|x≤4}
∵全集U=R，
∴∁_UB={x|x≥3或x=1}
故（∁_UB）∩A=x|4≥x≥3或x=1}

点评 本题考查了定义域的求法和集合的基本运算．属于基础题．