Question

18．已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M为线段AB的中点，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l：y=2x+b与点M的轨迹有两个不同的交点C，D，且点O在以线段CD为直径的圆外，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由两点间距离公式表示出|AB|，再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可；
（Ⅱ）联立直线方程与圆的方程化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得b的范围，再由向量数量积大于0求得b的范围，取交集得答案．

解答 解：（Ⅰ）设A（m，0）、B（0，n），则|AB|²=m²+n²=4，
再设线段AB中点M的坐标为（x，y），则x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{n}{2}$，
即m=2x，n=2y，
代入m²+n²=4，得4x²+4y²=4，
即AB中点的轨迹方程为x²+y²=1；
（Ⅱ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+4bx+b²-1=0．
△=16b²-20（b²-1）=20-4b²＞0，得$-\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$．
再设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-1}{5}$，
∵点O在以线段CD为直径的圆外，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=x₁x₂+（2x₁+b）（2x₂+b）
=$2b（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{x}_{1}{x}_{2}+{b}^{2}$=$-\frac{8{b}^{2}}{5}+5•\frac{{b}^{2}-1}{5}+{b}^{2}＞0$．
解得：$b＜-\frac{\sqrt{10}}{2}$或b$＞\frac{\sqrt{10}}{2}$，
又$-\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$．
∴$-\sqrt{5}＜b＜-\frac{\sqrt{10}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}＜b＜\sqrt{5}$．
故实数b的取值范围为$（-\sqrt{5}，-\frac{\sqrt{10}}{2}）∪（\frac{\sqrt{10}}{2}，\sqrt{5}）$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系的应用，训练了向量在解题中的应用，是中档题．