Question

10．已知数列a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=tx+1上．
（1）求S_n及a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$（n≥2），b₁=1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：当n≥2时，T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）把点（S_n，S_n+1）代入直线y=tx+1，结合a₁=1，a₂=2求得t，可得数列递推式，进一步可得{a_n}为公比为2的等比数列．再由等比数列的通项公式和前n项和公式求得S_n及a_n；
（2）把a_n代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$，放缩可得${b}_{n}＜\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），代入T_n=b₁+b₂+…+b_n，由等比数列的前n项和证得当n≥2时，T_n＜2．

解答 （1）解：由题意，得S_n+1=tS_n+1，令n=1有，S₂=t•S₁+1，
∴a₁+a₂=t•a₁+1．代入a₁=1，a₂=2有t=2．
∴S_n+1=2S_n+1，则S_n=2S_n-1+1（n≥2）．
两式相减有，a_n+1=2a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，且$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=2$符合．
∴{a_n}为公比为2的等比数列．
则${a}_{n}={2}^{n-1}$，${S}_{n}=\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
（2）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}-3{a}_{n}+1}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}•{2}^{n}-3•{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}•{2}^{n-1}}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴当n≥2时，
T_n=b₁+b₂+…+b_n$＜1+\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．