Question

18．双曲线x²-y²=2016的左、右顶点分别为A₁、A₂，P为其右支上一点，且P不在x轴上，若∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，则∠PA₁A₂等于（　　）

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{36}$
• C． $\frac{π}{18}$
• D． 无法确定

Answer 1

分析 设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，则可得tan∠PA₁H•tan∠PA₂H=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=1，利用∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，即可求∠PA₁A₂的值．

解答 解：如图，
设P（x，y），y＞0，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，
则tan∠PA₁H=$\frac{y}{x+a}$，tan∠PA₂H=$\frac{y}{x-a}$（ 其中a²=2016）．
∴tan∠PA₁H•tan∠PA₂H=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=1．
∴∠PA₁H+∠PA₂H=$\frac{π}{2}$，
设∠PA₁A₂=α，则∠PA₂H=5α，∴α+5α=$\frac{π}{2}$，则α=$\frac{π}{12}$，
即∠P${A}_{1}{A}_{2}=\frac{π}{12}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查正切函数的定义，属于基础题．