Question

10．如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”．
（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）=（x+m）²，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的值域；
（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当-1≤x≤1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知cos（x+a）=cos（-x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；
（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；
（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．

解答 解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（-x）=cosx恒成立，
∵cos（x+2kπ）=cosx，
∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．   
（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f（-x）恒成立，
∴y=f（x）是偶函数．   
设0≤x≤1，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²． 
①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m²，（1-m）²]． 
②当$0＜m＜\frac{1}{2}$时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，
y_min=f（m）=0，${y_{max}}=f（1）={（1-m）^2}$，值域为[0，（1-m）²]．    
③当$\frac{1}{2}≤m≤1$时，y_min=f（m）=0，${y_{max}}=f（0）={m^2}$，值域为[0，m²]．
④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1-m）²，m²]．  
（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（-x），∴函数y=g（x）偶函数，
又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（-x）=g（x），
∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．   
作出函数y=g（x）的图象如图所示：

由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．  
当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个交点，
则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为（2017，1），所以$p=\frac{1}{2017}$．
同理，当p＜0时，$p=-\frac{1}{2017}$．
综上，$p=±\frac{1}{2017}$．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数单调性与周期性的应用，二次函数的性质，函数图象的意义，属于中档题．