Question

16．能够把圆O：x²+y²=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为“亲和函数”，则下列函数：$f（x）={x^3}+x，f（x）=ln\frac{5+x}{5-x}，f（x）=tan\frac{x}{5}，f（x）={e^x}+{e^{-x}}$，其中是圆O：x²+y²=9的“亲和函数”的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“亲和函数”的定义知，若函数为“亲和函数”，则该函数必为过原点的奇函数，由此判断即可得出结论．

解答 解：由“亲和函数”的定义知，若函数为“亲和函数”，则该函数为过原点的奇函数；
①中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=x³+x为“亲和函数”；
②中，f（0）=ln1=0，且f（-x）=f（x），所以f（x）为奇函数，
所以f（x）=ln$\frac{5+x}{5-x}$为“亲和函数”；
③中，f（0）=tan0=0，且f（-x）=f（x），f（x）为奇函数，
故f（x）=tan$\frac{x}{5}$为“亲和函数”．
④中，f（0）=e⁰+e^-0=2，所以f（x）=e^x+e^-x的图象不过原点，
故f（x））=e^x+e^-x不为“亲和函数”；
综上，以上为“亲和函数”的个数是3个．
故选：C．

点评 本题考查了新定义函数的应用问题，解题时要注意函数的性质与合理运用，是综合性题目．