Question

18．已知函数f（x）=ax-ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥sinx恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-ln（x+1），求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的极值．
（Ⅱ）f（x）≥sinx恒成立，即ax-ln（x+1）-sinx≥0恒成立，令g（x）=ax-ln（x+1）-sinx，求出导函数，通过①当a≥2②当a＜2，判断函数的单调性，推出a≥2．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-ln（x+1），则$f'（x）=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$，
因为x+1＞0，所以当x＞0时，f'（x）＞0；当-1＜x＜0时，f'（x）＜0．
所以f（x）在x=0处取得极大值f（0）=0，无极小值．
（Ⅱ）f（x）≥sinx恒成立，即ax-ln（x+1）-sinx≥0恒成立，
令g（x）=ax-ln（x+1）-sinx，则$g'（x）=a-\frac{1}{x+1}-cosx$，
当x≥0时，$\frac{1}{x+1}+cosx≤2$，
①当a≥2时，g'（x）≥0，所以g（x）≥g（0）=0，满足题意；
②当a＜2时，g'（0）=a-2＜0，所以必存在一个区间[0，x₀]使得g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，这与题意矛盾，所以不成立．
综上可知a≥2．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的恒成立条件的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用．