题目内容

13．已知数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+1=3an+1，数列{an}的前n项和为Sn，则S2016=（　　）
A．$\frac{{3}^{2015}-2016}{2}$B．$\frac{{3}^{2016}-2016}{2}$C．$\frac{{3}^{2015}-2017}{2}$D．$\frac{{3}^{2016}-2017}{2}$

分析 利用数列的递推关系式求出{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是等比数列，然后求解数列的和，推出S2016即可．

解答 解：数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，an+1=3an+1，
可得：an+1+$\frac{1}{2}$=3（an+$\frac{1}{2}$），所以{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是等比数列，首项是1，公比为3，
S2016+1008=$\frac{1-{3}^{2016}}{1-3}$=$\frac{{3}^{2016}-1}{2}$．
S2016=$\frac{{3}^{2016}-2017}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．

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