Question

13．已知集合A={x|x²-2x-3＜0}，B={x|2a-1＜x＜a+1}，a∈R．
（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设函数$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{3}）+1$，若实数x₀满足f（x₀）∈A，求实数x₀取值的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若B⊆A，分类讨论，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）由题意，$-1＜f（{x_0}）=4sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）+1＜3$，即可求实数x₀取值的集合．

解答 解：（Ⅰ）A={x|-1＜x＜3}，
若B=∅，则2a-1≥a+1，解得a≥2，满足B⊆A，
若B≠∅，则a＜2，要使B⊆A，只要$\left\{\begin{array}{l}a＜2\\ 2a-1≥-1\\ a+1≤3\end{array}\right.$解得0≤a＜2，
综上，实数a的取值范围是[0，+∞）；…（5分）
（Ⅱ）由题意，$-1＜f（{x_0}）=4sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）+1＜3$，
即$-\frac{1}{2}＜sin（2{x_0}+\frac{π}{3}）＜\frac{1}{2}$，∴$2kπ-\frac{π}{6}＜2{x_0}+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{π}{6}$，或$2kπ+\frac{5π}{6}＜2{x_0}+\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{7π}{6}$，k∈Z，
∴$kπ-\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ-\frac{π}{12}$，或$kπ+\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z．
则实数x₀取值的集合是$\left\{{{x_0}|}\right.kπ-\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ-\frac{π}{12}$，或$kπ+\frac{π}{4}＜{x_0}＜kπ+\frac{5π}{12}$，k∈Z}．…（10分）

点评 本题考查集合的关系，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．