Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b．
（1）求证：a+c=2b，
（2）若B=$\frac{π}{3}$，S=4$\sqrt{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件结合正弦定理以及二倍角公式化简，推出结果即可．
（2）利用三角形的面积以及余弦定理，即可求出b的值．

解答 解：（1）证明：△ABC中，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
由正弦定理得sinAcos²$\frac{C}{2}$+sinCcos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB，
即sinA•$\frac{1+cosC}{2}$+sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3}{2}$sinB；
所以sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
因为sin（A+C）=sinB，
所以sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得a+c=2b；
（2）因为S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}$，
所以ac=16，
又由余弦定理有b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac，
由（1）得a+c=2b，所以b²=4b²-48，得b=4．

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查三角函数的化简求值，考查计算能力．