Question

18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求a的取值范围
（3）若x∈[t，t+2]，试求y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）可得对称轴为x=1，可设f（x）=a（x-1）²+1，由f（0）=3，求出a的值即可；
（2）f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1，解得即可；
（3）通过讨论t的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值．

解答 解（1）由已知，f（0）=f（2）=3，可得对称轴为x=1，
则函数的定点坐标为（1，1），
设f（x）=a（x-1）²+1，a＞0，由f（0）=3，得a=2，
故f（x）=2x²-4x+3．
（2）因为函数的对称轴为1，f（x）在区间[2a，a+1]上不单调
对称轴在区间[2a，a+1]内，即2a＜1＜a+1，
解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．  
（3）当t≥1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）_min=f（t）=2t²-4t+3．
当t＜1＜t+2时，即-1＜t＜1时，f（x）_min=1，
当t+2≤1时，即t≤-1时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递减，f（x）_min=f（t+2）=2t²+4t+5，
综上所述y=f（x）_min=g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}-4t+3，t≥1}\\{1，-1＜t＜1}\\{2{t}^{2}+4t+5，t≤-1}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查了二次函数的性质，以及二次函数在闭区间上的最值，同考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．