Question

已知

A

5n

=56

C

7n

，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项．

Answer 1

（1）∵已知

A

5n

=56

C

7n

，∴n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

，
即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），∴n=15．
（2）（Ⅱ）当n=15时，由已知有（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，再令x=0得：a₀=1，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
（3）展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r15

 •(-2x) r，故展开式中第r+1项的系数绝对值为 2^r•

C

r15

．
由

2r• C  r15 ≥2 r-1 C  r-115 2r• C  r15 ≥2 r+1 •C r+115

 解得

29

3

≤r≤

32

3

，
∴r=10，故展开式中系数绝对值最大的项是第11项．