Question

13．经过调查发现，某产品在投放市场的一个月内（按30天计算），前15天，价格直线上升，后15天，价格直线下降（价格为时间的一次函数），现抽取其中4天价格如表所示：

时间	第4天	第10天	第18天	第25天
价格（元）	108	120	127	120

（1）求价格f（x）关于时间x的函数解析式（x表示投放市场的第x天）；
（2）若每天的销量g（x）关于时间x的函数为g（x）=4+$\frac{2}{x}$（万件），请问该产品哪一天的日销售额最小？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法设出方程，建立方程进行求解即可．
（2）求出函数的日销售额函数，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求解最值即可．

解答 解：（1）当0≤x≤15时，设f（x）=ax+b，
当x=4时，y=108，
当x=10时，y=120，即$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=108}\\{10a+b=120}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=100}\end{array}\right.$，此时f（x）=2x+100，
当15＜x≤30时，设f（x）=ax+b，
当x=18时，y=127，
当x=25时，y=120，即$\left\{\begin{array}{l}{18a+b=127}\\{25a+b=120}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=145}\end{array}\right.$，此时f（x）=-x+145，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+100，}&{0≤x≤15}\\{-x+145，}&{15＜x≤30}\end{array}\right.$．
（2）若每天的销量g（x）关于时间x的函数为g（x）=4+$\frac{2}{x}$（万件），
则当0≤x≤15时，日销售额h（x）=f（x）g（x）=（4+$\frac{2}{x}$）（2x+100）=8x+$\frac{100}{x}$+404=8（x+$\frac{12.5}{x}$）+404，
当0≤x≤3时，函数h（x）为减函数，当4≤x≤15时，函数h（x）为增函数，
h（3）=24+$\frac{100}{3}$+404=461$\frac{1}{3}$，h（4）=32+$\frac{100}{4}$+404=461，
当15＜x≤30时，日销售额h（x）=f（x）g（x）=（4+$\frac{2}{x}$）（-x+145）=-4x+$\frac{290}{x}$+578，则此时函数h（x）为减函数，
当x=30时，h（30）=-120+$\frac{290}{30}$+578=467$\frac{2}{3}$，
则当x=4时，函数h（x）取得最小值461．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件利用待定系数法求出函数的解析式，以及利用基本不等式以及函数单调性的性质求出函数的最值是解决本题的关键．