Question

如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据正方形的性质利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，可得∠1=∠2，同理证明△ADG和△CDG全等，可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°．
取AB的中点O，可得OH=

1

2

AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

解答：解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由

AB=CD ∠BAD=CDA AE=DF

 可得△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2．
同理可证△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=

1

2

AB=1，在Rt△AOD中，OD=

AO2+AD2

=

1+4

=

5

．
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH的最小值为OD-OH=

5

-1．
故答案为：

5

-1．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点，属于难题．