题目内容

2．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），x1，x2为函数y=f（x）-x的两个零点，且满足0＜x1＜x2＜$\frac{1}{a}$．当x∈（0，x1）时，则（　　）
A．f（x）＜x＜x1B．x＜x1＜f（x）C．x＜f（x）＜x1D．x＜x2＜f（x）

分析 由函数零点的定义化简函数y=f（x）-x，当x∈（0，x1）时利用函数的解析式推出x＜f （x），然后作差
x1-f（x）化简后，结合x的范围以及大小关系分析出f（x）＜x1．

解答 解：∵x1，x2为函数y=f（x）-x的两个零点，
∴y=F（x）=a（x-x1）（x-x2），
当x∈（0，x1）时，由x1＜x2得（x-x1）（x-x2）＞0，
又a＞0，则F（x）=a（x-x1）（x-x2）＞0，
∴x＜f（x）．
∵x1-f（x）=x1-[x+F（x）]=x1-x+a（x1-x）（x-x2）
=（x1-x）[1+a（x-x2）]
因为0＜x＜x1＜x2＜$\frac{1}{a}$，
所以x1-x＞0，1+a（x-x2）=1+ax-ax2＞1-ax2＞0．
得x1-f（x）＞0，∴f（x）＜x1，
故选：C．

点评 本题考查函数零点的应用，作差法比较大小，考查化简、变形能力，写出二次函数的零点式y=a（x-x1）（x-x2）是解决本题的关键．

练习册系列答案
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13+23+33+43=100
13+23+33+43+53=225
…
可以推测：13+23+33+…+20153=（　　）
A．（1002×2015）2B．（1008×2015）2C．（2014×2015）2D．（2016×2015）2
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