Question

17．已知△ABC中，AB+$\sqrt{2}$AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理可得：AC²=AD²+2²-4AD•cos∠ADC，且${（6-\sqrt{2}AC）}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$，进而${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$，结合二次函数的图象和性质，可得AC=2$\sqrt{2}$时，AD取最小值$\sqrt{2}$，由余弦定理求出cos∠ACB，进而求出sin∠ACB，代入三角形面积公式，可得答案．

解答 解：∵AB+$\sqrt{2}$AC=6，BC=4，D为BC的中点，
根据余弦定理可得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，且AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos∠ADB，
即AC²=AD²+2²-4AD•cos∠ADC，且${（6-\sqrt{2}AC）}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$，
∵∠ADB=π-∠ADC，
∴${AC}^{2}+{（6-\sqrt{2}AC）}^{2}=2{AD}^{2}+8$，
∴${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$，
当AC=2$\sqrt{2}$时，AD取最小值$\sqrt{2}$，
此时cos∠ACB=$\frac{8+4-2}{8\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin∠ACB=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的知识点是余弦定理的应用，三角形面积公式，同角三角函数的基本关系，难度中档．