Question

19．如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线l．
（I）求证：l⊥平面CDE；
（II）在图①中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据主视图和侧视图可得AD⊥DE，AD⊥DC，故而AD⊥平面CDE，根据AD∥平面BCEF可得AD∥l，故l⊥平面CDE．
（II）以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设M（0，0，m），求出平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{MC}$的坐标．令|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{MC}$＞|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$解出m，即可判断M的位置．

解答 证明：（I）由侧视图可知四边形ADEF是正方形，∴AD∥EF，
又∵EF?面BEF，AD?面BEF，
∴AD∥面BEF
又∵AD?平面ABCD，面ABCD∩面BEF=l，
∴AD∥l，
由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知DE⊥AD，
∵AD?平面CDE，CD?平面CDE，AD∩CD=D，
∴AD⊥面CDE，
∴l⊥面CDE．
（II）以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，2，0）、E（0，0，1）、F（1，0，1）．
设M（0，0，m）（0≤m≤1），
则$\overrightarrow{MC}=（{0，2，-m}）$，$\overrightarrow{EF}=（{1，0，0}），\overrightarrow{BF}=（{0，-1，1}）$
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow n=（{0，1，1}）$．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}$=2-m，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{MC}$|=$\sqrt{4+{m}^{2}}$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{2-m}{\sqrt{2}\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得$m=\frac{2}{3}$或m=6（舍）
∴当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．