Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=2，CC₁=4，M为棱CC₁上一点．
（1）若C₁M=1，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）若C₁M=2，求证BM⊥平面A₁B₁M．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由C₁D₁∥B₁A₁，得∠B₁A₁M是异面直线A₁M和C₁D₁所成角，由此能示出异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值．
（2）C₁M=2时，由勾股定理得B₁M⊥BM，A₁M⊥BM，由此能证明BM⊥平面A₁B₁M．

解答： （1）解：∵C₁D₁∥B₁A₁，
∴∠B₁A₁M是异面直线A₁M和C₁D₁所成角，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥B₁M，
∵AB=2，BC=2，CC₁=4，M为棱CC₁上一点，C₁M=1，
∴B₁M=

B1C12+MC12

=

4+1

=

5

，
∴tan∠B₁A₁M=

B1M

A1B1

=

5

2

，
∴异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值为

5

2

．
（2）证明：C₁M=2时，B₁M=BM=

BC2+CM2

=2

2

，
∴B1M2+BM2=BB12，∴B₁M⊥BM．
∵A1M2=A1C12+MC12=4+4+4=12，
A1B2=16+4=20，
∴A1M2+BM2=A1B2，
∴A₁M⊥BM，
又A₁M∩B₁M=M，∴BM⊥平面A₁B₁M．

点评：本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查直线与平面的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．