Question

椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点P到两焦点的距离之积为m，当m取最大值时，P点坐标为（　　）

• A．（5，0），（-5，0）
• B．（

  2

  5

  ，

  3 2

  2

  ）（

  5

  2

  ，-

  3 2

  2

  ）?
• C．（

  5 2

  2

  ，

  3

  2

  ）（-

  5 2

  2

  ，

  3

  2

  ）
• D．（0，-3）（0，3）

Answer 1

分析：根据椭圆的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，-3）．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1，∴椭圆的a=5，b=3
设椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵|PF₁|+|PF₂|≥2

|PF1|×|PF 2|

∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=25
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m有最大值25
此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，-3）
故选：D

点评：本题给出椭圆的方程，求其上一点到两个焦点距离之积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于基础题．