Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}，（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x），（x＜0）}\end{array}\right.$，函数g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R），若函数g（x）有三个零点，则实数t的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 做出f（x）的图象，判断f（x）=m的根的情况，根据g（x）=0的零点个数判断m²+m+t=0的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范围．

解答 解：做出f（x）的函数图象如图所示：

令f（x）=m，g（x）=0，则m²+m+t=0，
由图象可知当m≥1时，f（x）=m有两解，当m＜1时，f（x）=m只有一解，
∵g（x）有三个零点，
∴m²+m+t=0在（-∞，1）和[1，+∞）上各有一解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-4t＞0}\\{1+1+t≤0}\end{array}\right.$，解得t≤-2．
故答案为（-∞，2]．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题．