Question

12．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{e^x}$．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，x∈R，
∴f′（x）=$\frac{-x+2}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴f（x）在（-∞，2）递增，在（2，+∞）递减；
（Ⅱ）由f（x）=$\frac{ax-1}{{e}^{x}}$得：
f′（x）=$\frac{-ax+a+1}{{e}^{x}}$，x∈[0，1]，
令f′（x）=0，∵a＜0，解得：x=1+$\frac{1}{a}$＜1，
①1+$\frac{1}{a}$≤0时，即-1≤a＜0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，
∴f（x）在[0，1]递增，f（x）_min=f（0）=-1；
②当0＜1+$\frac{1}{a}$＜1时，即a＜-1时，
x，f′（x），f（x）在[0，1]上的情况如下：

x	0	（0，1+$\frac{1}{a}$）	1+$\frac{1}{a}$	（1+$\frac{1}{a}$，1）	1
f′（x）		-	0	+
f（x）		递减	极小值	递增

∴f（x）min=f（1+$\frac{1}{a}$）=$\frac{a}{{e}^{1+\frac{1}{a}}}$；
综上，-1≤a＜0时，f（x）_min=-1，a＜-1时，f（x）_min=$\frac{a}{{e}^{1+\frac{1}{a}}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．