Question

数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，3a_n+1=S_n（n≥1），则a_n=

1             ，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2 ，n≥2

．

Answer 1

分析：这是一道典型的含有a_n+1，S_n的递推公式来求通项公式的题目，利用公式an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，本题是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意对n=1和n≥2进行讨论．

解答：解：由已知，a₁=1，3a_n+1=S_n
∴3（S_n+1-S_n）=S_n，
所以

Sn+1

Sn

=

4

3

，即{S_n}是首项为1，公比为

4

3

的等比数列，
所以S_n=1×（

4

3

）^n-1=（

4

3

）^n-1，
又由公式an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

，
得到a_n=

1             ，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2 ，n≥2

．
故答案为：

1             ，n=1 1 3 •( 4 3 )n-2 ，n≥2

．

点评：本题属于基础题目，运算上较为容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意讨论n=1和n≥2的情形，进一步求出{a_n}的通项公式，用到的思想方法是分段讨论法．