Question

18．已知在数列{a_n}中S_n=n²-6n，若设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求：
（1）{a_n}的通项公式；
（2）T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=n²-6n，n=1时，a₁=-5；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）令a_n=2n-7≤0，解得n≤3．可得：n≤3时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-…-a_n=-S_n；n≥4时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-a₃+a₄+…+a_n=-2S₃+S_n．

解答 解：（1）∵S_n=n²-6n，
∴n=1时，a₁=-5；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-6n-[（n-1）²-6（n-1）]=2n-7．n=1时也成立．
∴a_n=2n-7．
（2）令a_n=2n-7≤0，解得n≤3．
∴n≤3时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-…-a_n=-S_n=-n²+6n；
n≥4时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-a₁-a₂-a₃+a₄+…+a_n=-2S₃+S_n=-2（3²-6×3）+n²-6n=n²-6n+18．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+6n，1≤n≤3}\\{{n}^{2}-6n+18，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了绝对值数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．