Question

10．已知函数f（x）=log₂（x+2）与g（x）=（x-a）²+1，若对任意的x₁∈[2，6），都存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．

Answer 1

分析 分别求出f（x₁）和g（x₂）的值域，令f（x₁）的值域为g（x₂）的值域的子集列出不等式解出a．

解答 解：∵x₁∈[2，6），∴f（2）≤f（x₁）＜f（6），即2≤f（x₁）＜3，∴f（x₁）的值域为[2，3）．
g（x）的图象开口向上，对称轴为x=a，
（1）若a≤0，则g（x）在[0，2]上是增函数，∴g（0）≤g（x₂）≤g（2），即g（x₂）的值域为[a²+1，a²-4a+5]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2≥{a}^{2}+1}\\{3≤{a}^{2}-4a+5}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤0．
（2）若a≥2，则g（x）在[0，2]上是减函数，∴g（2）≤g（x₂）≤g（1），即g（x₂）的值域为[a²-4a+5，a²+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2≥{a}^{2}-4a+5}\\{3≤{a}^{2}+1}\\{a≥2}\end{array}\right.$，解得2≤a≤3．
（3）若0＜a≤1，则g_min（x）=g（a）=1，g_max（x）=g（2）=a²-4a+5，∴g（x）的值域为[1，a²-4a+5]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3≤{a}^{2}-4a+5}\\{0＜a≤1}\end{array}\right.$，解得0$＜a≤2-\sqrt{2}$．
（4）若1＜a＜2，则g_min（x）=g（a）=1，g_max（x）=g（0）=a²+1，∴g（x）的值域为[1，a²+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3≤{a}^{2}+1}\\{1＜a＜2}\end{array}\right.$，解得$\sqrt{2}≤$a＜2．
综上，a的取值范围是[-1，0]∪[2，3]∪（0，2-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，2）=[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．
故答案为[-1，2-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，3]．

点评 本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题．