Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，则a₁₀=（　　）

• A． 9×2⁹
• B． 10×2⁹
• C． 10×2¹⁰
• D． 10×2¹¹

Answer 1

分析 数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{n}^{\;}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=n•2^n-1．
则a₁₀=10×2⁹．
故选：B

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．