Question

5．F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1的上、下焦点，A为椭圆上一点，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）则|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=2a=6$\sqrt{3}$，由向量的中点表示形式，可得B为AF₁的中点，C为AF₂的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{27}$=1的a=3$\sqrt{3}$，
由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=2a=6$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），可得B为AF₁的中点，
$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），可得C为AF₂的中点，
由中位线定理可得|OB|=$\frac{1}{2}$|AF₂|，
|OC|=$\frac{1}{2}$|AF₁|，
即有|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}$（|AF₁|+|AF₂|）=a=3$\sqrt{3}$，
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查向量的中点表示形式，同时考查中位线定理，运用椭圆的第一定义是解题的关键，属于中档题．