Question

6．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班	6    6.5    7    7.5    8
B班	6     7    8     9     10    11    12
C班	3    4.5   6    7.5     9    10.5    12    13.5

（Ⅰ）试估计C班的学生人数；
（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ₁，表格中数据的平均数记为μ₀，试判断μ₀和μ₁的大小．（结论不要求证明）

Answer 1

分析 （I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ₀＞μ₁．

解答 解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，
故抽样比K=$\frac{20}{100}$=$\frac{1}{5}$，
故C班有学生8÷$\frac{1}{5}$=40人，
（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，
共有5×8=40种情况，
而且这些情况是等可能发生的，
当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；
当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；
当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=$\frac{2+3+3+3+4}{40}$=$\frac{3}{8}$；
（Ⅲ）μ₀＞μ₁．

点评 本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．