Question

2．已知函数f（x）=x²+ax+b，a≠b，则f（2）=4是f（a）=f（b）的（　　）

• A． 充分非必要条件
• B． 必要非充分条件
• C． 充要条件
• D． 不是充分条件，也不是必要条件

Answer 1

分析 根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．

解答 解：若f（a）=f（b）则a²+a²+b=b²+ab+b，
即2a²-ab-b²=0，
则（a-b）（2a+b）=0，
∵a≠b，
∴2a+b=0，即b=-2a，此时f（2）=4+2a+b=4，即必要性成立，
若f（2）=4=4+2a+b，则2a+b=0，b=-2a，
则f（x）=x²+ax+b=x²+ax-2a，
则f（a）=a²+a²+b=2a²-2a，
f（b）=b²+ab+b=（-2a）²+a（-2a）-2a=2a²-2a，
则f（a）=f（b），即充分性成立，
即f（2）=4是f（a）=f（b）的充要条件，
故选：C

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．