Question

已知圆C的方程为x²+y²+2x-4y+a²-1=0，A点坐标为（1，2），过A点作圆C的切线有两条．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当过A的两条切线互相垂直，求实数a的值及两条切线的方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）化圆的方程为标准式，由6-a²＞0求得a的范围，结合点A在圆外进一步求得a的范围，取交集得答案；
（2）∵过A的两条切线互相垂直，∴|AC|=

2

R，再由|AC|=2=

2

•

6-a2

求得a的值．设出过A的切线方程为：y-2=k（x-1），化为一般式，由圆心C到切线的距离等于圆的半径求得k，则圆的切线方程可求．

解答： 解：（1）由x²+y²+2x-4y+a²-1=0，得（x+1）²+（y-2）²=6-a²，
∴6-a²＞0，即-

6

＜a＜

6

．
∵过A点作圆C的切线有两条，∴（1+1）²+（2-2）²＞6-a²，解得a＜-

2

或a＞

2

．
∴实数a的取值范围是-

6

＜a＜-

2

或

2

＜a＜

6

；
（2）∵过A的两条切线互相垂直，∴|AC|=

2

R，
∴|AC|=2=

2

•

6-a2

，解得a=±2．
设过A的切线方程为：y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0．
∵C（-1，2），∴d=

|-2k|

k2+1

=

2

，解得：k=±1．
∴两直线方程为：x-y+1=0或x+y-3=0．

点评：本题考查了圆的切线方程，考查了点与圆、直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，是中档题．