Question

20．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用拆项法化简b_n，再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式即可得到．

解答 解：（Ⅰ）由题设可知a₁•a₄=a₂•a₃=8，又a₁+a₄=9，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_4}=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_4}=1\end{array}\right.$（舍去）
由${a_4}={a_1}{q^3}$得：公比q=2，
故${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$，
又因为${b_n}=\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}=\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（{\frac{1}{S_1}-\frac{1}{S_2}}）+（{\frac{1}{S_2}-\frac{1}{S_3}}）+…+（{\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）$=$\frac{1}{S_1}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}$=$1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$．
所以，${T_n}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$（或${T_n}=\frac{{{2^{n+1}}-2}}{{{2^{n+1}}-1}}$）．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程的思想，考查数列的求和方法：裂项相消法求和，考查运算能力，属于中档题．