Question

5．已知f（x）=sin²（π+x）-cos（2π-x）+a
（1）求f（x）的值域
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）内有零点，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）化简三角函数式并进行配方，结合正弦函数的有界性求值域；
（2）结合（1）的解析式以及角度范围求出方程$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$=0在（0，$\frac{π}{2}$）有解的关于a 的不等式，解之即可．

解答 解：（1）f（x）=sin²（π+x）-cos（2π-x）+a
=sin²x-cosx+a=-cos²x-cosx+a+1=$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$，x∈R，cosx∈[-1，1]，
所以cosx=$-\frac{1}{2}$时，f（x）最大值为$a+\frac{5}{4}$，cosx=1时，f（x）最小值为-1+a；
所以f（x）的值域[-1+a，a+$\frac{5}{4}$]；
（2）若f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）内有零点，
$-（cosx+\frac{1}{2}）^{2}+a+\frac{5}{4}$=0在（0，$\frac{π}{2}$）有解，
又（cosx+$\frac{1}{2}$）²∈（$\frac{1}{4}，\frac{9}{4}$），
所以$\frac{1}{4}$＜a+$\frac{5}{4}$＜$\frac{9}{4}$，解得-1＜a＜1．

点评 本题考查了三角函数的化简、三角函数的有界性以及三角函数的零点；注意角度范围对值域的影响．